Alangkah indah hidup yang berselimut kezuhudan, kesederhanaan dan kekayaan hati. Dengan ketiganya, tak ada rasa was-was yang disebakan harta atau kesenangan dunia melekat dalam diri kita. Imam Al-Ghazali menyebutkan 3 tanda zuhud, yaitu :
1. Tidak terlalu bergembira jika memperoleh keberuntungan dan tidak terlalu sedih dengan hilangnya sesuatu.
2. Bagi orang yang zuhud, sama saja apakah ia dicela ataupun dipuji. Hal yang demikian itu tidak berpengaruh terhadap sikapnya
3. Ia selalu bersama Allah SWT dan hatinya lebih didominasi oleh lezatnya kertaatan.
Jumat, 04 Mei 2012
Kamis, 03 Mei 2012
Hakikat Matematika
Matematika sebagai salah satu cabang
ilmu memiliki arti yang sangat luas. Sampai
saat ini, di antara para ahli Matematika belum ada kesepakatan yang bulat untuk
memberikan jawaban atas definisi Matematika. Abraham S. Lunchins dan Edith N. Luchins (Suherman, 2001 : 17) mengatakan :
In short,
the question what is Mathematics? May be answered difficulty depending on when the question is
answered, where it is answered, who answere it and what is regarded as being included in Mathematics. Pendeknya,
apakah Matematika itu? dapat dijawab secara berbeda-beda tergantung pada
bilamana pertanyaan itu dijawab, di mana dijawabnya, siapa yang menjawabnya dan apa sajakah yang dipandang
termasuk dalam Matematika.
Berbicara mengenai hakikat Matematika artinya menguraikan tentang
apa Matematika itu sebenarnya, apakah Matematika itu ilmu deduktif, ilmu
induktif, simbol-simbol, ilmu yang abstrak dan sebagainya. Hudoyo (1979 : 96) mengemukakan bahwa :
Hakikat Matematika berkenaan dengan ide-ide, struktur-struktur dan
hubungan-hubungannya yang diatur menurut aturan yang logis. Jadi, Matematika
berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak. Selanjutnya, dikemukakan bahwa
apabila Matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan, maka
simbol-simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang
beroperasi di dalam struktur-struktur.
Sedangkan
Soedjadi (1985 : 13) berpendapat bahwa :
“Simbol-simbol di dalam
Matematika umumnya masih kosong dari arti, sehingga
dapat diberi arti sesuai dengan ruang lingkup semestanya”.
Dengan demikian, tanpa mengetahui
hakikat Matematika, tidak
mungkin dapat memilih strategi untuk pengajaran Matematika dengan benar. Begitu
pula dengan mengetahui hakikat
Matematika akan membantu memilih metode mengajar yang lebih sesuai. Dengan kata
lain, penerapan strategi dan metode mengajar akan banyak berarti bila
mengetahui hakikat
Matematika. [1]
1.1 Pengertian
Matematika
Kata Matematika berasal
dari bahasa latin “Mathematica” yang diambil
dari perkataan Yunani “Mathemathike”.
Kata ini mengandung unsur kata “mathe”
yang berarti ilmu pengetahuan (knowledge)
dan kata “mathemein” yang
berarti bernalar. Jadi, menurut asal katanya, Matematika berarti ilmu
pengetahuan yang diperoleh secara bernalar.
Matematika lebih menekankan
kegiatan dalam dunia rasio (penalaran) bukan menekankan dari hasil eksperimen atau
hasil observasi. Matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia yang
berhubungan dengan ide, proses dan penalaran (Ruseffendi ET, 1980 : 148).
Matematika terbentuk dari
pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris, kemudian pengalaman itu
diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan penalaran di dalam
struktur kognitif, sehingga sampai terbentuk konsep-konsep Matematika. Supaya
konsep-konsep Matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan
dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa Matematika atau notasi
Matematika yang bersifat global (universal). Konsep Matematika didapat karena
proses berpikir. Oleh karena itu, logika adalah dasar terbentuknya Matematika.
Pada awalnya, cabang
Matematika yang ditemukan adalah Aritmatika, Aljabar, Geometri. Setelah itu,
ditemukan Kalkulus, Statistika, Aljabar Abstrak, Aljabar Linear, Himpunan,
Geometri Linear, Analisis Vektor dan lainnya.
1.2 Beberapa Definisi Para Ahli Mengenai
Matematika
Para
ahli Matematika memberikan definisi yang beragam tentang Matematika, antara
lain :
1.
Ruseffendi (1988 : 23)
“Matematika terorganisasikan dari
unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma dan
dalil-dalil setelah dibuktikan kebenarannya
berlaku secara umum. Oleh karena itu, Matematika
sering disebut ilmu deduktif”.
2.
James dan James (1976)
“Matematika adalah ilmu tentang
logika, mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep yang berhubungan
satu dengan lainnya. Matematika terbagi dalam tiga bagian besar, yaitu Aljabar,
Analisis dan Geometri”.
3.
Johnson dan Rising, 1972 dalam Ruseffendi, 1988 : 2
“Matematika adalah pola berpikir,
pola mengorganisasikan, pembuktian yang logis. Matematika adalah bahasa yang
menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat,
representasinya dengan simbol, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide daripada
bunyi”.
4.
Reys, 1984 dalam Ruseffendi, 1988 : 2
“Matematika merupakan telaahan tentang pola dan hubungan, suatu
jalan atau pola pikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat”.
5.
Kline, 1973 dalam Ruseffendi, 1988 : 2
“Matematika bukan pengetahuan tersendiri
yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya Matematika terutama
untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial,
ekonomi dan alam”. [2]
6.
Sudjono (1988 : 4)
Menurut Sudjono,
ada beberapa definisi
Matematika, yaitu :
1. Matematika
adalah cabang ilmu pengetahuan yang eksak dan terorganisir secara sistematik.
2. Matematika
adalah bagian pengetahuan manusia tentang bilangan dan kalkulasi.
3. Matematika
adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan.
4. Matematika
adalah pengetahuan fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan
bentuk.
5. Matematika
adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logik. [3]
7.
Herman (1991 : 5)
“Matematika merupakan salah satu pelajaran yang diajarkan di sekolah
mulai dari SD, SLTP, SMU sampai ke Perguruan Tinggi. Dengan mempelajari
Matematika, seorang individu dapat dilatih berpikir kritis, logis dan rasional,
sehingga dapat menanamkan kebiasaan bernalar dalam kehidupan sehari-hari untuk
menyelesaikan segala bidang, seperti bidang ekonomi, pertanian, sosial dan
lainnya”. [4]
Berdasarkan
pendapat-pendapat para ahli tersebut dapat dikatakan bahwa Matematika merupakan
ilmu pengetahuan yang mempelajari struktur yang abstrak dan pola hubungan yang
ada di dalamnya. Hal ini berarti bahwa belajar Matematika pada hakikatnya adalah belajar konsep,
struktur konsep dan mencari hubungan antar konsep dan strukturnya. Ciri khas
Matematika yang bersifat deduktif aksiomatis ini harus diketahui oleh seorang
pendidik, sehingga mereka dapat mengajarkan Matematika dengan tepat, mulai dari
konsep-konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks.
1.3 Matematika Sebagai Ilmu Deduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu
deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam Matematika
berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain. Metode
pencarian kebenaran yang dipakai dalam Matematika adalah metode deduktif, tidak
dapat dipakai metode induktif (pengamatan). Pada ilmu pengetahuan alam, metode
yang dipakai adalah metode induktif dan eksperimen.
Walaupun mencari kebenaran dalam
Matematika dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi seterusnya generalisasi
yang benar untuk semua keadaan harus dapat dibuktikan dengan cara deduktif.
Dalam Matematika, suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil tersebut
dapat diterima kebenarannya sesudah dibuktikan secara deduktif.
Contoh dalam ilmu Fisika : Bila
seseorang melakukan percobaan (eksperimen) sebatang logam dipanaskan, maka akan
memuai. Selanjutnya ketika dilakukan
percobaan dengan logam-logam lainnya, ternyata memuai juga. Berdasarkan
percobaan tersebut, maka ia dapat membuat kesimpulan (genealisasi) bahwa setiap
logam yang dipanaskan dapat memuai.
Generalisasi yang dibuat secara induktif tersebut dapat dibenarkan dalam ilmu
Fisika.
Pada Matematika, contoh-contoh
seperti itu dapat dianggap
sebagai generalisasi jika kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.
Berikut adalah beberapa contoh pembuktian dalil atau generalisasi pada
Matematika. Dalil atau generalisasi berikut dibenarkan dalam Matematika karena
sudah dapat dibuktikan secara deduktif.
Contoh :
Bilangan
ganjil ditambah bilangan ganjil sama dengan genap. Misalnya, kita ambil
beberapa buah bilangan ganjil, baik ganjil positif atau ganjil negatif, yaitu : 1, 3, -5, 7
+
|
1
|
3
|
-5
|
7
|
1
|
2
|
4
|
-4
|
8
|
3
|
4
|
6
|
-2
|
10
|
-5
|
-4
|
-2
|
-10
|
2
|
7
|
8
|
10
|
2
|
14
|
Dari
tabel di atas, terlihat bahwa untuk setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan
hasilnya selalu genap. Dalam Matematika, hasil di atas belum dianggap sebagai
suatu generalisasi. Pembuktian dengan cara induktif ini harus dibuktikan lagi
dengan cara deduktif. Pembuktian secara deduktif, yaitu sebagai berikut :
Misalkan a dan b adalah sembarang bilangan bulat,
maka 2a bilangan genap dan 2b bilangan genap-genap, maka 2a + 1 bilangan ganjil
dan 2b + 1 bilangan ganjil.
Jika dijumlahkan :
(2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2
= 2 (a + b + 1)
Karena a dan b bilangan bulat, maka
(a + b + 1) juga bilangan bulat, sehingga 2(a + b + 1) adalah bilangan genap.
Jadi, bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil sama dengan bilangan genap.
Kesimpulan
yang didapat dengan cara deduktif ini barulah dapat dikatakan dalil atau
generalisasi. Dalil-dalil dan rumus Matematika ditentukan secara induktif
(eksperimen), tetapi begitu suatu dalil ditemukan, maka generalisasi tersebut
harus dibuktikan kebenarannya secara deduktif.
Pada
pembelajaran Matematika di SD, pembuktian dengan cara deduktif masih sulit
dilaksanakan. Oleh karena itu, siswa SD hanya melakukan metode eksperimen
(metode induktif). Percobaan-percobaan tersebut masih menggunakan benda-benda
konkrit. Untuk pembuktian deduktif masih sulit dilaksanakan karena pembuktian
deduktif lebih abstrak dan menuntut siswa mempunyai pengetahuan-pengetahuan
yang sebelumnya.
Contoh :
Pada pembuktian bilangan ganjil ditambah ganjil sama dengan bilangan genap,
siswa harus terlebih dahulu mengerti bilangan ganjil, bilangan genap dan
bilangan bulat, sehingga dapat menyelesaikan dalam bentuk umum
bilangan-bilangan tersebut. [5]
1.4 Matematika
Sebagai Ilmu Terstruktur
Matematika merupakan ilmu
terstruktur yang terorganisasikan. Hal ini karena Matematika dimulai dari unsur
yang tidak didefinisikan (underfined
terms, basic terms, primitive terms),
kemudian pada unsur yang didefinisikan ke aksioma atau postulat dan akhirnya
pada teorema. Konsep-konsep Matematika tersusun secara hirarkis, logis dan
sistematis mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang
paling kompleks. Oleh karena itu, untuk mempelajari Matematika, konsep
sebelumnya yang menjadi prasyarat harus benar-benar dikuasai agar dapat
memahami topik atau konsep selanjuntnya.
Contoh :
Seorang siswa yang akan mempelajari sebuah volume kerucut haruslah mempelajari
mulai dari lingkaran, luas lingkaran, bangun ruang dan akhirnya volume kerucut.
Untuk dapat mempelajari topik
volume balok, maka siswa harus mempelajari rusuk atau garis, titik sudut,
sudut, bidang datar persegi dan persegi panjang, luas persegi dan persegi
panjang dan akhirnya volume balok.
Stuktur
Matematika adalah sebagai berikut :
a.
Unsur- unsur yang tidak didefinisikan.
Misal :
Titik, garis, lengkungan, bidang, bilangan dan lainnya. Unsur-unsur
ini ada, tetapi kita tidak dapat mendefinisikannya.
b.
Unsur-unsur yang didefinisikan
Dari unsur-unsur yang tidak dapat didefinisikan, maka
terbentuk unsur-unsur yang didefinisikan.
Misal : Sudut, persegi panjang, segitiga, balok, pecahan desimal dan lainnya.
c.
Aksioma atau postulat
Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan dan unsur-unsur
yang didefinisikan dapat dibuat asumsi-asumsi yang dikenal dengan aksioma atau
postulat. Misal : 2 titik sembarang hanya dapat dibentuk sebuah garis.
d.
Dalil atau teorema
Dari unsur-unsur yang
tidak didefinisikan dan aksioma, maka disusun teorema atau dalil-dalil yang
kebenarannya harus dibuktikan dengan cara deduktif. Misal : Jumlah dua bilangan
ganjil adalah genap. [6]
1.5 Matemamatika
Sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu
Matematika sebagai ratu atau ibunya
ilmu dimaksudkan bahwa Matematika adalah sebagai sumber dari ilmu yang lain.
Dengan kata lain, banyak ilmu-ilmu
penemuan dan pengembangannya bergantung dari Matematika.
Contoh:
a. Penemuan dan pengembangan teori Mendel dalam Biologi
melalui konsep Probabilitas.
b. Banyak teori-teori dari Fisika dan Kimia modern
ditemukan dan dikembangkan melalui konsep Kalkulus, khususnya tentang persamaan
Differensial.
c. Perhitungan dengan bilangan imajiner digunakan untuk
memecahkan masalah tentang kelistrikan.
d. Dalam ilmu pendidikan dan psikologi, khususnya dalam
teori belajar, selain digunakan Statistik juga digunakan persamaan matematis
untuk menyajikan teori atau model dari penelitian.
e. Dalam seni grafis, konsep Transformasi Geometric
digunakan untuk melukis mosaik.
f. Dalam seni musik, barisan bilangan digunakan untuk
merancang alat musik.
g. Teori Ekonomi mengenai permintaan dan penawaran dikembangkan
melalui konsep fungsi Kalkulus tentang Differensial dan Integral.
Dari kedudukan Matematika sebagai
ratu ilmu pengetahuan seperti yang telah diuraikan di atas, tersirat bahwa
Matematika sebagai suatu ilmu juga berfungsi untuk melayani ilmu pengetahuan.
Matematika tumbuh untuk dirinya sendiri sebagai suatu ilmu, juga untuk melayani
kebutuhan ilmu pengetahuan dalam pengembangan dan operasionalnya. [7]
Kesimpulan
Adapun kesimpulan
dari materi pembahasan ini adalah :
1. Matematika
merupakan ilmu pengetahuan yang mempelajari struktur yang abstrak dan pola
hubungan yang ada di dalamnya. Hal ini berarti bahwa belajar Matematika pada
hakikatnya adalah belajar
konsep, struktur konsep dan mencari hubungan antar konsep dan strukturnya.
2. Matematika
dikenal sebagai ilmu deduktif karena proses mencari kebenaran (generalisasi)
dalam Matematika harus bersifat deduktif. Hal ini berarti bahwa Matematika
tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus
berdasarkan pembuktian deduktif. Walaupun mencari kebenaran dalam Matematika
dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi seterusnya generalisasi yang benar
untuk semua keadaan harus dapat dibuktikan secara deduktif. Dalam Matematika,
suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil tersebut dapat diterima
kebenarannya sesudah dibuktikan secara deduktif.
3. Matematika
sebagai ilmu terstruktur berarti bahwa konsep Matematika tersusun secara hirarkis,
logis dan sistematis dimulai dari konsep yang sederhana sampai pada konsep yang
lebih kompleks. Struktur Matematika terdiri dari unsur-unsur yang tidak
didefinisikan, unsur-unsur yang didefinisikan, aksioma atau postulat dan dalil
atau teorema.
4. Matematika
sebagai ratu dan pelayan ilmu berarti bahwa Matematika sebagai suatu ilmu yang
berfungsi melayani ilmu pengetahuan. Matematika tumbuh dan berkembang untuk
dirinya sendiri sebagai suatu ilmu juga untuk melayani kebutuhan ilmu
pengetahuan dalam pengembangan dan operasionalnya.
[1] Arifin Muslim, Hakikat Matematika dan Pembelajaran
Matematika, (online), http://arifinmuslim.wordpress.com : 30 September
2011.
[2]
Upi, Model Pembelajaran Matematika, (online), http://file.upi.edu/DUAL-
MODES/kb_1_hasil_revisi.pdf : 30 September 2011.
[3]
Sudjana, Pengajaran Matematika untuk
Sekolah Menengah, (Jakarta : Departemen Pendidikan Nasional Direktorat
Jenderal Pendidikan Tinggi, 1998), hal. 4.
[4]
Herman Hudoyono, Strategi Belajar
Mengajar Matematika, (Malang : IKIP, 1991), hal.5.
[5]
Aanchoto, Hakikat Matematika, (online), http://aanchoto.com
: 30 September 2011.
[6]
Jose, Matematika Sekolah, (online), http://jose.blogspot.com.html : 30
September 2011.
[7]
Upi, Model Pembelajaran Matematika, (online) http://repository.upi.edu_chapter2.pdf
: 30 September 2011.
Langganan:
Postingan (Atom)